شکل گیری مثلث پاسکال-خیام

شکل گیری مثلث پاسکال-خیام

بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،”دستور نیوتن” را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:

(a+b)0 = 1 (1)
(a+b)1 = a+b (1,1)
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (1,2,1)
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (1,3,3,1)
(a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4a2b3+b4 (1,4,6,4,1)
. . .
اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریبهای عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال (Blaise Pascal) فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریبهای بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به “مثلث حسابی پاسکال” مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال 1665 میلادی در “رساله مربوط به مثلث حسابی “چاپ شد.مثلث حسابی چنین است:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

دراین مثلث از سطر سوم به بعد هر عددبرابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آنرا تا هر جا که للازم باشدادامه داد. هرسطر این مثلث ضریبهای بسط دوجمله ای را در یکی از حالتها بدست میدهد بطوری که n همان شماره سطر باشد.

ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توانهای درست و مثبت) حتا در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است .باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال 1676میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل میشود.

اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن n. از جمله، دستور بسط دو جمله ای را میتوان در “کتاب حساب مخفی” میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال 1524 چاپ شد) پیدا کرد.

در سال 1948 میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،دز کتاب “مفتاح الحساب”(1427 میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تاشکند، دستور نیوتون وقانون تشکیل ضریبهای بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث میکند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن “درستی شیوه های هندی در جذر وکعب “اطلاع داریم ،کهدر آن به تعمیم قانونهای هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از “دستور نیوتن” اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانونهای مربوط بهضریبهای بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو میرود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان میپذیرد .بنابراین حتی” مثلث حسابی پاسکال” را هم از نظر تاریخی نمیتوان “مثلث حسابی خیام ” نامید.

با تلخیص از کتاب سرگذشت ریاضی نوشته پرویز شهریاری
شیدا شیدائی فر

مطمئنا” همه ي شما با مثلث خيام – پاسكال آشنايي پیدا کردید و طرز ساخت آن را مي دانيد.بد نيست يادآور شويم كه در رديف n ام اين مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و 1-k ام رديف 1-n ام به دست مي آيد(1<n و 0<n>k ) .

لم: در رديف n ام(…,3 ,2 ,1 ,0=n) اين مثلث،عنصر k ام(nو…و2و1و0=k) به صورت است.

براي اثبات اين موضوع ،ابتدا توجه مي كنيم كه براي ، داريم :.
اكنون با استفاده از رابطه ي (1) و به كمك استقرا ، لم اثبات مي شود.(جزئيات به عهده ي خواننده).
بنابراين مي توان مثلث خيام – پاسكال را به صورت زير در نظر گرفت:

قضيه:در مثلث خيام – پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند.
ابتدا توجه مي كنيم كه براي داريم :
مساله: آيا مي توانيد رابطه ي (2) را با يك بحث تركيبياتي اثبات كنيد.
حال نشان مي‌دهيم كه براي 0<n>k>m داريم : .
فرض كنيم اين طور نباشد،يعني 1=() با توجه به رابطه ي (2)، عاد مي‌كند را .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقليدس عاد مي‌كند را، ولي اين ممكن نيست چرا كه .
به اين ترتيب ، قضيه اثبات مي شود.

حال آيا در مورد «فراكتال».ها (معادل فارسي آن «برخال» است). چيزي شنيده.ايد. در اين مورد در كتاب.هاي درسي رياضي.اتان مطالبي گفته شده است.
در واقع «برخال».ها موجوداتي هندسي.اند كه هرچه آن را از نزديك نگاه كنيم شبيه شكل نخستين است مانند: «گل كلم». به اين اشيا. اصطلاحاً «خودمتشابه» گويند.

ایده.ي «خود متشابه» در اصل توسط «لایبنیتس» بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ «کارل وایرشتراس» مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگی.های غیربصری که در همه.جا پیوسته بود ولی در هرجا مشتق.پذیر نبود. گراف .این تابع اکنون «برخال» نامیده می.شود.
در سال ۱۹۰۴ «هلگه فون کخ» به.همراه خلاصه.ای از «تعریف تحلیلی وایرشتراس»، تعریف هندسی.تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به «برفدانه کخ» معروف است. در سال ۱۹۱۵ «واکلو سرپینسکی» مثلث.اش را و سال بعد فرش.اش (برخالی) را ساخت.
.ایده.ي «منحنی.های خودمتشابه» توسط «پاول پیر لوی» مطرح شد او در مقاله.اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنی.های فضایی» و «سطوحی شامل بخش.های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد.
منحنی «لوی سي. گئورگ کانتور»مثالی از زیرمجموعه.های خط حقیقی با ویژگی.های معمول ارائه داد.. این «مجموعه.های کانتور» اکنون به.عنوان«برخال» شناخته می.شوند.
اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم «توابع تکرار شونده در سطح پیچیده» توسط «هانری پوانکاره»،«فلیکس کلاین»، «پیر فاتو» و «گاستون جولیا» شناخته شده بودند. با .این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آن.ها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند.
در سال 1960 «بنوا مندلبرو» تحقیقاتی را در شناخت خودمتشابه.ای طی مقاله.ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه.ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. .این کارها براساس کارهای پیشین «ریچاردسون» استوار بود.
در سال ۱۹۷۵ «مندلبروت» جهت مشخص کردن شيئی که بعد «هاوسدورف بیسکویچ» آن بزرگ.تر از بعد توپولوژیک است کلمه.ي «برخال» را .ایجاد کرد.
او. این تعریف ریاضی را از طریق شبیه.سازی خاص کامپیوتری تشریح کرد.

nمثلث خيام – پاسكال

حال با اين توضيح مختصر در مورد برخال.ها برمي.گرديم به «مثلث خيام – پاسكال».
در مورد اين مثلث زياد شنيده.ايم از جمله در مورد كاربرد فراوانش در نظريه.ي اعداد و تركيبيات.
حال مي.خواهم يك «برخال» ساده را در اين مثلث به شما نشان دهم. موضوعي كه باعث مي.شود اين مثلث جايي را نيز در دنياي برخال.ها – يعني سيستم.هاي ديناميكي – پيدا كند.
مسأله خيلي ساده است، تمام اعداد زوج را در «مثلث خيام – پاسكال» پاك كنيد، آن.چه باقي مي.ماند برخالي معروف است با نام «مثلث سرپينسكي»:

مثلث پاسکال، مثلث تارتالیا یا مثلث خیام – پاسکال به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دو جمله ای گفته می شود. برای مطالعه ی خواص جمله های مثلث کافی هست از تعریف استفاده کنیم

دنباله های ویژه در داخل مثلث پاسکال:

دنباته توان 2:

دنباله توان 2 به صورت زیر می باشد

الگوی جالبی در داخل مثلث پاسکال برای محاسبه توان 2 وجود دارد:

جمع عناصر هر سطر به ترتیب توان 2 ایجاد میکند با توجه به رابطه (3.3)اگر

اگر a=1وb=-1به رابطه ی زیر میرسیم

در رابطه اخیر اگر n=0قرارداد 1=00 با مشتق گیری از طرفین از طرفین رابطه ی (3.3)برای a=xوb=1داریم

حال اگر x=1یا x=-1باشد

با مشتق گرفتن از مراتب بالاتر از رابطه ی (4.3)به روابط دیگری دست می یابیم با تعویض عمل مشتق گیری با روابط دیگری به دست می اید.

##دنباله ی توان های عدد 11:
در حالت کلی اگر جمله های سطر nام مثلث را از راست به چپ از دیدگاه تعداد یکان دهگان …نگاهکنیم وبدین طریق عدد Nnرابسازیم طبق اتحاد دو جمله ای خیام عدد Nnتوانی از 11 است

مثلا:

در مورد سطر 7ام دقت کنید .الگوی زیر رعایت شده.

دنباله اعداد مصور:

در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی ,قطر 2 از اعداد مثلثی وقطر3 از اعداد 4وجهی تشکیل شده اند.

با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد 4 وجهی مجموع چند عدد مثلثی است.به طور کلی می توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده اند که به صورت (c(n,kمی باشد.در ضمن داریم:

””دنباله فیبوناچی:””

اگر قطرها را با شیب بیشتر انتخاب کنیم.داریم:

مجموعه اعداد روی قطر ها دنباله ی :

…و13و8و5و3و1و1 تشکیل می دهد.در این دنباله جمله اول ودوم 1 است بقیه جملات جمع دو جمله قبلی اش می شوند

F1=F2=1 Fn+2=Fn+1+Fn اثبات این خاصیت به وسیله مثلث به راحتی قابل مشاهده است. اگرشیب قطر های فیبو ناتچی را بیشتر کنیم.به تعمیمی از این دنباله دست خواهیم یافت

اگر ان را با Gn نمایش دهیم داریم

G1=G2=G3=1 Gn+2=Gn+1+Gn-1 تعمیم های مختلف از دنباله فیبوناچی داریم.
دنباله(c(2n,n:

دنباله واقع بر عمود منصف مثلث را به صورت زیر در نظر می گیریم….و252و70و20و6و2و1

تعمیم دنباله بالا به صورت زیر است

به عبارت دیگر مجموع مربعات جمله های سطر nام برابر است با رآس تحتانی یک لوزی که این لوزی که این سطر یکی از قطرهای ان می باشد.

–ویژگی هندسی فانگ:

ایا دو عدددر مثلث پاسکال می توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟ عناصر واقع در قطر 3,اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع 2 عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است.اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد.داریم:

Tn+Tn+1=n2 واین نتیجه می دهد.

برای تفریق داریم

ویژگی چوب چوگان:

تساوی زیر را در نظر بگیرید.

اگر هر کدام از عناصر دو طرف تساوی را به صورت نقاط هندسی در نظر بگیرید

اگر طول چوب چوگان را kدر نظر بگیریم(رابطه بالا را تعمیم دهید)

ضرب صلیبی

در اینجا مستطیل هایی را به صورت قائم الزاویه و افقی در داخل مثلث خیام در نظر می گیریم.رئوس این مستطیل ها که بر روی درایه های این مثلث واقع شده اند در اینجا رابطه ای بر حسب درایه های واقع بر رئوس این مستطیل به دست می اوریم. نکته جالب این است که با لغزاندن مستطیل به نحوی که نقطه ی cدر طول قطر (در امتداد پیکان)جا به جا شود

همواره نسبت (a*d)/(c*b)یک مقدار ثابت خواهد بوذ

ستاره داوود:

در خاصیت ضرب صلیبی اگر به جای مستطیل ها یک ستاره به صورت زیر در نظر بگیریم به قسمتی که رئوس ان بر درایه های مثلث خیام قرار گیرند.به تساوی زیر میرسیم.

در مرکز این ستاره عنصر