مقدمه ای از اعداد مختلط

مقدمه ای از اعداد مختلط

اگر 1-√ را با i تعریف کنیم در آن صورت مجموعه ای از اعداد با نام اعداد مختلط بوجود می آیند.
نکته : عبارت i را عدد موهومی محض می نامند

فرم دکارتی اعداد مختلط :

هر عدد مختلط را بصورت z=a+ib تعریف کرده و a=Re z را قسمت حقیقی و b=Im z قسمت موهومی آن می نامند.

نکته : |z| را قدر مطلق عدد مختلط نامیده و برابر است با a2+b2√
نکته : z را مزدوج عدد مختلط نامیده و برابر است با a-ib
نکته : دو عدد مختلط با هم برابرند اگر قسمتهای حقیقی و موهومی آنها با هم برابر باشند.

جمع و تفریق اعداد مختلط :

در جمع و تفریق اعداد مختلط قسمتهای حقیقی با هم و قسمتهای موهومی با هم جمع و یا تفریق می شوند.

ضرب اعداد مختلط :

ضرب این اعداد همانند ضرب دو عبارت دو جمله ای انجام می گردد.
نکته : باید توجه داشت که اعداد مختلط ضرب داخلی و خارجی نیز داشته و طبق تعریف داریم :
z1.z2=a1a2+b1b2 ضرب داخلی
z1*z2=a1b2-a2b1 ضرب خارجی
نکته :زاویه بین دو خط حاصل از دو عدد مختلط از فرمول زیر محاسبه می شود:
sin Θ =z1*z2/|z1||z2|s
cos Θ =z1.z2/|z1||z2|s
نکته : در معادله زیر :
|z-z0|+|z-z1|=R>0
|z0-z1|=R
معادله مذکور پاره خط واصل بین z0 و z1 می باشد.
|z0-z1|>R
معادله مذکور شکلی ندارد.
|z0-z1|>R
معادله مذکور بیضی با کانونهای z0 و z1 است.
نکته : در معادله زیر :
|z-z0|-|z-z1|=R>0
|z0-z1|=R
معادله مذکور نیم خطی در امتداد خط واصل بین z0 و z1 می باشد.
|z0-z1|>R
معادله مذکور هذلولی با کانونهای z0 و z1 است.
|z0-z1|>R
معادله مذکور شکلی ندارد.
نکته : شرط آنکه سه نقطه z1 و z2 و z3 بر یک خط مستقیم باشد آن است که z3-z2/z2-z1 جواب حقیقی و مخالف صفر داشته باشد.
نکته : معادله دایره آپولونیوس عبارت است از :
, |z-z0/z-z1|=K
k مخالف صفر است.
نکته : دو مثلث با رئوس z1 و z2 و z3 و w1 و w2 و w3 مشابهند اگر دترمینانی با سطر اول 1 و سطر دوم z ها سطر سوم wها صفر باشد.
نکته : برای تقسیم دو عدد مختلط کافی است که صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب کنیم.

شکل قطبی اعداد مختلط :

هر عدد مختلط را می توان با r و Θ بشکل زیر نمایش داد.
x=rcosΘ
y=rsinΘ
r=√x2+y2
Θ=arg z=arctan y/x
پس داریم
z=r(cosΘ+isinΘ)
و در نتیجه : z=reiΘ
نکته : هر عدد مختلط n ریشه nام دارد که از فرمول زیر بدست می آید و مجموع ریشه های nام همواره صفر است.
n√z=n√rei(Θ+2kП)/n
لگاریتم نپرین اعداد مختلط :

این لگاریتم دارای بی نهایت جواب به شکل زیر می باشد.
lnz=lnr+i(Θ+2kП)

یک عدد مختلط به صورت یا تعریف می‌شود که در آن دو عدد حقیقی اند.در این نمایش را واحد موهومی می‌نامند و دارای خاصیت می‌باشد.
را قسمت حقیقی عدد و را قسمت موهومی آن گویند و به ترتیب با و نمایش می‌دهند.
مزدوج عدد مختلط

را مزدوج نامیده و با نمایش می‌دهند . به عبارت دیگر مزدوج عبارت است از .
تساوی دو عدد مختلط

دو عدد مختلط و را مساوی گویند ، اگر و فقط اگر و.
نکته

می توانیم مجموعه اعداد حقیقی را زیرمجموعه اعداد مختلط در نظر بگیریم. چرا که اگر ، آنگاه یک عدد حقیقی خواهد بود. حال اگر باشد ، را یک عدد موهومی محض نامند.

عملیات اساسی با اعداد مختلط

شکل مثلثاتی یا قطبی اعداد مختلط

اگر نقطه ای از صفحه مختلط ، متناظر به عدد یا باشد ، آنگاه طبق شکل داریم

که در آن را قدر مطلق یا نرم یا مدول عدد مختلط گویند و با یا نشان می‌دهند و را آرگومان یا فاز عدد گویند و با نمایش می‌دهند که زاویه بین با جهت مثبت محور ها است. لذا خواهیم داشت :

وآن را شکل مثلثاتی یا قطبی عدد مختلط گویند و را مختصات قطبی نامند . اغلب ترجیح داده می‌شود به جای عبارت از نماد استفاده شود.

قضیه دموآر

اگر به ازای داشته باشیم آنگاه روابط زیر برقرارند:

و از تعمیم آن خواهیم داشت:

ریشه های اعداد مختلط

عدد مختلط را ریشه ام عدد مختلط گویند ، اگر باشد و می‌نویسند.اگر عددی صحیح و مثبت باشد ، می‌توان به کمک قضیه دموآر نشان داد که:

از اینجا نتیجه می‌شود که مقدار مختلف برای وجود دارد. یعنی به شرط ناصفر بودن ،ریشه ام مختلف داررد
فرمول اویلر

می دانیم که:

اگر قرار دهیم و نتیجه را مرتب کنیم ، خواهیم داشت:

که این فرمول را فرمول اویلر گویند . در حالت کلی :

جمع و ضرب اعداد مختلط دارای خواص زیر است:
1.جابجایی: .
2.شرکت پذیری: .
3.توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع:
صفر مختلط برابر است با ،‌ همچنین را قرینه نامیم هر گاه: . را معکوس گوییم هر گاه: ،‌ بدین ترتیب:

در نتیجه حاصل تقسیم بر چنین محاسبه می‌شود:

و یک نوع نمایش نیز به این شکل است: .
بنابراین اگر فرض کنید نقاطی در صفحه اند، داریم:

که جمع و ضرب آن ها بنابر آنچه که تعریف کردیم،‌ چنین خواهد بود:

توجه کنید که هر عدد مختلط توسط 2 جزء قابل نمایش است پس با این اعمال روی دستگاهی از اعداد پدید می آید که به آن دستگاه اعداد مختلط گویند، و آن را با نمایش می‌دهند. صفحه ای که نقاط آن را اعداد مختلط تشکیل دهند،‌ صفحه مختلط می‌نامند. این صفحه دارای دو محور افقی و عمودی است. تمام اعداد مختلطی را در نظر بگیرید ( مانند ) که بخش مختلط آن صفر است، این اعداد به صورت

خواهند بود و همان طور که مشاهده می شود، اعدادی حقیقی هستند. یعنی محور افقی این صفحه،‌ محور اعداد حقیقی است. حال اگر بخش حقیقی آن را صفر کنید،‌ اعدادی به صورت بدست می آیند، که محور عمودی این صفحه را تشکیل می دهند و به اعداد مختلط محض معروفند.
با این تعاریف داریم:

و آنچه که در مورد جمع و ضرب اعداد مختلط تعریف نمودیم بر تعریف‌ آن در صفحه مختلط هم منطبق خواهد بود. لذا نمایش عدد مختلط در صفحه مختلط همان نمایش زوج مرتب خواهد بود: