مقاله درونیابی و تقریب
درونیابی و برون‌یابی توابع
منظور از درون‌يابی چيست؟ به چه منظور از درون یابی استفاده مي‌کنيم؟ موارد کاربرد درون‌يابی چيست؟ چه روش‌هايی برای درون‌يابی وجود دارد؟ بهترين روش درون‌يابی چيست؟ دقت و خطاي درون‌يابي چه‌قدر است؟
اين سؤالات و سؤالات مشابه، در اين بخش از سايت ریاضیات ایران بررسي مي‌شوند و سعي مي‌کنيم پاسخ‌هاي مناسبي براي آن‌ها بيابيم.
با يک مثال کاربردي ساده شروع مي‌کنيم.
فرض کنيد اطلاعات يک تابع خاص در بازه‌هاي زماني مختلف در دسترس باشد، مثلاً اطلاعات جمعيت يک کشور در سال‌هايي که سرشماري انجام شده است. مي‌خواهيم برآوردي از جمعيت کشور را در سال‌هاي مياني اين سرشماري‌ها، به دست آوريم. چون اطلاعات دقيقي از چگونگي رشد جمعيت و ميزان مرگ و مير در دسترس نداريم، نمي‌توانيم به طور يقين بگوييم که جمعيت کشور در سال مورد نظر چند است. پس راه حل چیست و چگونه می توانیم این کار را انجام دهیم؟
فرض کنيد جمعيت کشور در سال‌هاي مختلف به صورت جدول زير باشد:
سال
1335
1345
1355
1365
1370
1375
1385
1395
جمعيت
32 ميليون
40 ميليون
48 ميليون
52 ميليون
؟
65 ميليون
70 ميليون
؟
مي‌خواهيم جمعيت کشور را مثلاً در سال 1370 تخمين بزنيم. به زبان ساده به چنين کاري، یعنی با استفاده از اطلاعات داده شده، اطلاعات میانی را یافتن، درون‌يابي مي‌نامند. پس درون‌يابي، تخمين اطلاعات مياني يک سري اطلاعات طبقه‌بندي‌شده است.
در صورتي که بخواهيم اطلاعات را در ابتداي جدول و يا انتهاي جدول، تخمين بزنيم، مثلاً جمعيت سال 1395 را تخمين بزنيم، بايستي از برون‌يابي استفاده کنيم.
فرض کنيد مقادير تابعي مانند f در نقاط به ترتيب برابر با داده شده باشد، مي‌خواهيم مقدار تابع f را در نقاط مياني بازه‌هاي تخمين بزنيم، به اين عمل درون‌يابي تابع f مي‌گوييم. اگر بخواهيم مقدار تابع f را در نقاطي خارج از بازه‌ي تخمين بزنيم، برون‌يابي تابع f ناميده مي‌شود.البته برای درون‌يابي در ریاضیات تعریف دقیق تری به صورت زیر وجود دارد:
تعريف 1. تابع درون‌ياب:
فرض کنيد مقادير تابع مانند f در نقاط به ترتيب برابر با باشد، تابع P با اين شرط که به ازاي هر داشته باشيم ، را تابع درون‌ياب f در نقاط داده شده مي‌گوييم.
درون‌يابي براي تقريب توابعي که داراي ضابطه‌ي پيچيده‌اي هستند نيز مي‌تواند به کار برده شود.
براي درون‌يابي و برون‌يابي روش‌هاي متفاوتي وجود دارد که در ادامه‌ي فصل آن‌ها را بررسي خواهيم کرد.
نظریه ی شبه-درونیابی در مطالعه ی نظریه ی تقریب گیری و کاربردهای آن بسیار مهم است. در این مقاله ما یک طرح شبه-درونیابی بر اساس توابع پایه ی بی-اسپلاین در فضای اسپلاین درجه چهارم را به کار می بریم و سپس همان بی-اسپلاین را برای طرح شبه-درونیابی چندسطحی در همان فضا مورد استفاده قرار می دهیم و با استفاده از انتگرال گیری عددی انتگرال های دو-بعدی هر دو عملگر را با هم مقایسه می کنیم. نتایح عددی نشان می دهند که عملگر شبه-درونیابی دو-سطحی دارای مرتبه ی تقریب گیری بهتری نسبت به عملگر شبه-درونیابی اصلی در همان فضا است.
آنالیز عددی